Herhangi Bir Sayı Niçin 0’a Bölünmez?

Matematik başlı başına garip bir bilim dalı, bundan dolayı tabiat ananın en kadim gizemlerine ışık tutuyor. Bazısına gore zor bazısına gore ise oldukça keyifli bir ders olan matematikte sıfır sayısının da hususi bir yeri var. Zira akıldan çıkmayan matematik kurallardan biri de bir sayıyı sıfıra bölemeyeceğinizdir.

Gerçek sayılarda, doğrusu sayı doğrusundaki tüm sayılar kümesinde bir sayının sıfır ile kısmı bizlere okullarda tanımsız diye öğretildi. Peki niçin bir sayıyı sıfıra bölerseniz netice tanımsız olur asla merak ettiniz mi? Gelin isterseniz bu probleminin cevabına beraber bakalım.

Bir sayı niçin 0’a bölünmez?

Herhangi bir gerçek sayının sıfıra kısmı tanımsızdır. Bölme işleminde sıfır ile bölüm tanımlı değildir. Ek olarak sonsuz da değildir. Bölümün sonucu pozitif sonsuz ya da negatif sonsuz olabilir. İki sonsuz da bir gerçek sayı belirtmez, dolayısıyla kati olarak söyleyebiliriz ki, sayı bölü sıfır tanımsızdır. 

Örnek olarak 10 sayısını sıfıra böldüğünüzde elinize ne geçtiğini düşünmek için; 10’u 5’e bölmekle başlamış olalım. Bu işlemin cevabı 2 olur. Peki ya 10’u daha küçük bir rakamla, 2’yle bölseydiniz ne olurdu? Daha büyük bir sayı olan 5’i elde ederdiniz. Peki ya 10’un 1’e bölünmesi? 

Gene daha büyük bir sayı çıkar. 10. ½’ye bölünen 10, 20 eder. ¼’e bölündüğü vakit 40; 1/32’e bölündüğü zamansa 320 yapar. Ne vakit daha küçük bir sayıya bölseniz, karşılığında daha büyük bir sayı elde edersiniz. Şu demek oluyor ki, bölen sayı 0’a ne kadar yaklaşırsa; cevabınız o denli sonsuzluğa yaklaşır. Bu yüzden aslen 10’u 0’a bölseydiniz, sonsuzluk elde ederdiniz değil mi?

Bu işlemde bir netice almak adına yalnızca limit alabilirsiniz. (Sayı / X), x giderken sıfıra şeklinde ve bu fonksiyonun davranışını inceleyebilirsiniz. Sadece burada da karşımıza tek bir limit kıymeti çıkmaz, bundan dolayı limitler sağdan ve soldan farklıdır.Sıfıra sağdan yaklaşırken, fonksiyonun kıymeti pozitif olarak sonsuza doğru gider. Sonsuz bir kısaltmadır, anlamı ise, sonucun herhangi bir X gerçek sayısından yüksek olduğu, devamlı büyümüş olduğu ve dolayısıyla hiçbir vakit belli olmadığıdır. Tek söyleyebileceğiniz, istediğiniz her gerçek sayıdan büyük bir netice elde edebileceğinizdir. 

Sıfıra soldan yaklaşırken ise, durum negatif yönde aynıdır. Sayı mutlak değerce fazlaca büyür sadece negatifdir, dolayısıyla küçülür. Belirleyebileceğiniz herhangi bir negatif gerçek sayıdan daha ufak bir sayıdır, dolayısıyla eksi sonsuzdur denir. Söylediğimiz şeklinde, X/0’ın hiçbir kıymeti yoktur, tanımlı bir işlem değildir. Sıfır ile asla bölme yapamazsınız.

Aslına bakarsanız sonsuz da gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir sayı olmadığından, kati olarak tanımsızdır. Sıfır bölü sıfır, bir üstü sonsuz, sonsuz bölü sonsuz, sonsuz eksi sonsuz birer belirsizliktir. Tanımsız değildir. Bu işlemleri yapabilmek için belirsizliğe yol açan durumu ortadan kaldırıp sonucu bulabiliriz.

Sıfıra bölme işlemi, yanıtını bulamadığınız bir işlemdir, bu yüzden işlemin sonucu tanımsızdır. Bölme ve çarpmanın birbiriyle arasındaki ilişkiye bakacak olursak nedenini anlayabilirsiniz. 6’yı 3’e bölerseniz, yanıt 2’dir, bundan dolayı 2 çarpı 3 = 6 olur. 6’yı sıfıra bölerseniz, “Sıfır çarpı 6’yı hangi sayı verir?” Sorusunu sorarsınız. Bunun cevabı normal olarak bir sayı değildir, bundan dolayı herhangi bir gerçek sayının sıfır çarpı sıfırın 6 olmadığını biliyoruz. Bu yüzden sıfıra bölmenin tanımsız bulunduğunu söylüyoruz, bundan dolayı öteki sayılarla bölme tutarlı değildir.

Düşünün ki, tüm yönlerde sonsuzluğa giden ve ortada bir merkezi bulunmayan iki boyutlu bir düzlem var. Şimdi bu düzlemi büküp küreye çevirdiğinizi ve sıfırın cenup kutbu bulunduğunu, köşelerin de en tepede; şimal kutbu olan yerde birleştiğini hayal edin. Şimdi, bir başka sonsuz iki boyutlu düzlem alın ve onu ekvatoru kesecek şekilde yerleştirin. Bu düzlem üstünde seçtiğiniz herhangi bir nokta, kürenin Şimal Kutbu’na düz bir çizgiyle bağlanabilir. Eğer seçtiğiniz nokta, kürenin dışındaysa; bağlantı çizgisi küreyle şimal yarımkürede kesisecek. Eğer kürenin içerisindeyse, cenup yarımkürede kesisecek.

Hayal ettiğiniz şey, bir Riemann Küresi. Düzlemdeki her noktayı, küredeki bir kesişim noktasıyla ilişkilendirmeyi kapsayan bu yönteme stereografik yansıtma deniyor. Temel olarak, düzlem üstünde bulabileceğiniz herhangi bir noktayı küre üstünde bulabilirsiniz. Buna sonsuzluk da dahil. Düzlemde sonsuzluğa ne kadar yaklaşırsanız, kürenin Şimal Kutbu’na da o denli yaklaşırsınız.

Başka bir örnekle açıklayacak olursak;

Portakallara elma eklerseniz ne olur? Elbet bir anlam ifade etmiyor, bu yüzden en kolay şey, mantıklı olmadığını yada bir matematikçinin söylediği şeklinde, “tanımsız” bulunduğunu söylemektir. Kim bilir ona bakmanın en iyi yolu budur. Matematikte, “XYZ işlemi tanımsız” şeklinde bir ifade gördüğünüzde, bunu kafanızda “XYZ işlemi bir anlam ifade etmiyor” şeklinde düşünebilirsiniz.

Bunu düşünmenin başka bir yolu da bir kutuyu elmalarla doldurmayı hayal etmektir. Bir kutuda 100 elma bulunduğunu varsayalım. Şimdi bu elmaların yarısı büyüklüğündeki elmalarla doldurmayı deneyin. Kutuya 200 tane elma koyabilirsiniz. Şimdi asla yer kaplamayan hususi, büyülü bir elma hayal edin. Kutuya kaç tane koyabilirsiniz?

Bu işlemin herhangi bir cevabı yok. Bu yüzden matematikçiler 0’a bölünen sayıları “tanımsız” olarak adlandırır. Bazı araştırmacılar bu işlemi sonsuz olarak görme eğilimindedir, sadece bu işlem tam olarak doğru değildir. Ilk olarak bir sayının sıfıra kısmı ilk bakışta sonsuz şeklinde düşünülebilir. Bu sebeple bölen sayı küçüldükçe netice büyür. Mesela 10 sayısını her adımda daha ufak sayılara bölersek sonucun büyüdüğünü görürüz.

• 10 / Bölen Sayı = Netice
• 10 / 1 = 10
• 10 / 0,1 = 100
• 10 / 0,01 = 1000
• 10 / 0,001 = 10000
• 10 / 0,0001 = 100000
• 10 / 0,00001 = 1000000
• 10 / 0,000001 = 10000000
• Bağıntı = 10/x = y

Gördüğünüz şeklinde bölen sayı ne kadar ufak olursa netice o denli büyük olmaktadır. Şu demek oluyor ki bölen sayı sıfıra yaklaştıkça netice da sonsuza yaklaşmaktadır. O halde bir sayının sıfıra kısmı sonsuz olmalıdır.

Bu durumun niçin doğru olmadığını idrak etmek için ilk olarak bölme işleminin ne ifade ettiğini bilmemiz gerekir. Mesela 10 sayısını 2 sayısına böldüğümüzde netice 5 çıkar. Bu işlem bizlere 10’un içinde kaç tane 2 bulunduğunu gösterir. Ek olarak bölme işlemi matematiksel olarak çarpma işleminin tersidir. Bölme ve çarpma işlemlerinin sonucunu birbirine eşit olacak şekilde düzenlersek çarpımsal ters terimi ortaya çıkar.

• 10 / 5 = 2 = 10 x 1/5
• 10 / 2 = 5 = 10 x 1/2
• 10/a = 10 x 1/a

İşlemlerdeki 1/a sayısına çarpımsal ters denir. ilk işlemde 5’in çarpımsal tersi 1/5, ikinci işlemde 2’nin çarpımsal tersi 1/2’dir. Şu demek oluyor ki bir sayının çarpımsal tersi 1’in bu sayıya bölümüdür (a’nın çarpımsal tersi 1/a ‘dır). Peki çarpımsal ters ne işimize yarayacak? Bir sayının çarpımsal tersi ile çarpımı daima 1 sonucunu verir.

• Sayı x Çarpımsal Ters = 1
• 5 x 1/5 =1
• 2 x 1/2 = 1
• 4000 x 1/4000 = 1
• a x 1/a = 1

Bu durumda sıfırın çarpımsal tersi 1/0 olmalı ve çarpımsal tersi ile çarpımı da 1’i vermelidir (0 x 1/0 = 1). İşte mesele burada ortaya çıkar. Bu sebeple bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Bu yüzden sıfırın çarpımsal tersi yoktur. Şu demek oluyor ki 1/0 tanımsızdır. Sayıların sıfıra bölüm işlemlerini çarpım olarak yazarsak

• 5/0 = 5 x 1/0
• 10/0 = 10 x 1/0
• -3/0 = -3 x 1/0

1/0 tanımsız olduğundan tüm sonuçlar tanımsızdır. Şu demek oluyor ki bir sayının sıfıra kısmı tanımsızdır. İlk bölümde bahsettiğim ve mantıklı şeklinde görünen 1/0 = Sonsuz düşüncesi hala mantıklı şeklinde gelebilir. Fakat bu durum negatif sayılar için de aynı sonucu vermektedir. Bir sayıyı sıfıra yaklaşan negatif sayılara böldüğümüzde netice eksi sonsuza yaklaşır.

• 10 / Negatif Bölen Sayı = Netice
• 10 / -1 = -10
• 10 / -0,1 = -100
• 10 / -0,01 = -1000
• 10 / -0,001 = -10000
• 10 / -0,0001 = -100000
• 10 /- 0,00001 = -1000000
• 10 /- 0,000001 = -10000000
• Bağıntı = 10/-x = -y 

Bu yüzden 1/0 sonucu sonsuz ise 1/-0 sonucu da eksi sonsuz olmalıdır. Sıfır etkisiz bir sayı olduğundan 1/0 için hem artı sonsuz hem de eksi sonsuz neticeleri ortaya çıkar. Artı sonsuz ile eksi sonsuz birbirine eşit olmadığından bu düşüncenin yanlış olduğu görülür.

Tüm bu işlemler kafanızı karıştırdıysa rahat bir mantık üstünden gidelim. Önceki kısımlarda bahsettiğim şeklinde mesela 10/5 işlemi 10’un içinde kaç tane 5 bulunduğunu gösterir. Buna gore 10/0 işlemi 10’nun içinde kaç tane sıfır bulunduğunu göstermelidir. 10’un içinde kaç tane sıfır vardır? 1, 10, sonsuz… bilmiyoruz bundan dolayı netice matematiksel olarak tanımlanmamıştır. Bu yüzden bir sayıyı sıfıra bölersek netice tanımsızdır.

Bu yazımızda sizlerle bir sayının niçin sıfıra bölünemediğini tüm detaylarıyla açıklamaya çalıştık. Meraklıları için yararlı bulunduğunu düşündüğümüz bu yazıda, bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde neler olur, netice tanımsız mı yoksa sonsuz mu sorularına cevap aradık. Bir sonraki yazımızda buluşuncaya dek sağlıcakla kalınca.