Ne Kadar Akıllı Bulunduğunu Gösteren Sual: Kilitli Dolap Problemi

Mantık soruları çözme mevzusunda kendinize güveniyor musunuz? Bugün sizlere sayısal becerilerinizi kullanmanızı gerektirecek bir sual soracağız. Fazlaca karmaşık görünmüş olduğu için bir çok kişiye ürkütücü gelen bu sual karşısında kendinizi kontrol etmek ister misiniz?

Bu suali insanların yalnız yüzde 1’i çözebiliyor benzer biçimde çıkarımlar yapmayacağız. Bundan dolayı elimizde bu şekilde bir veri yok. Sadece bu soruya doğru yanıt verirseniz matematik mevzusunda son aşama başarı göstermiş olduğunuzu söyleyebiliriz. O süre hadi gelin sorumuza geçelim.

Bir okulda toplamda 100 öğrenci var ve koridorda her öğrenci için 1 tane olacak şekilde toplamda 100 dolap bulunuyor. Okulun müdürü ise her akşam bu 100 dolabın kapalı olup olmadığını denetim edip okuldan bundan sonrasında ayrılıyor. 

Müdürün her akşam dolapları denetim ettiğini bilen 100 öğrenci, bigün müdürlerine latife yapmak istiyorlar. Tüm öğrenciler dolapların önünde sıraya giriyor. İlk öğrenci sırayla tüm dolapları açıyor. Ondan sonrasında ikinci sıradaki öğrenci ise ikinci dolaptan başlayıp tüm çift numaralı dolapları kapatıyor. Üçüncü sıradaki öğrenci ise üçüncü dolaptan başlayıp üçün katı olan dolapların tamamını açıyor. 

Aynı işlemi dördüncü sıradaki öğrenci de yapıyor ve dördüncü dolaptan başlayarak dördün katı olan tüm dolapları kapatıyor. Bu açıp kapatma işlemi, tüm öğrenciler tarafınca sırayla gerçekleştiriliyor. Bu sistemle 100 öğrenci de dolapları açıyor ya da kapatıyorlar.

O süre sorumuza gelelim. Müdür, akşam okuldan çıkmadan ilkin dolapları denetim ederken hangi dolapları açık bulacak?

Cevaba geçmeden ilkin birazcık süre tanıyalım. 

Ne çıkacağını bilmenin mutluluğuyla cevabı mı görmek istiyorsunuz? Haydi cevaba o süre:

Bu probleminin cevabı oldukca karmaşık gelebilir, sadece aslına bakarsak rahat bir mantıkla çözülebilir. Bunun için ilk olarak hangi öğrencilerin dolabı açıp kapatacağını matematiksel olarak oturtmak gerekiyor. Örneğin 24 numaralı dolabı yakından inceleyelim. İlk öğrenci bu dolabı açmış, ikinci öğrenci ise kapatmıştır. Üçüncü öğrenci de bu dolabı açarken dördüncü öğrenci gene kapatmıştır. Beşinci öğrenci ise dolaba dokunmamıştır.

Bir dolabı ele alış biçimimizi gördünüz. Buna gore aslına bakarsak dolapların açık yada kapalı olmasının numaraların çarpanlarıyla ilgili bulunduğunu söyleyebiliriz. Bu örneğimizdeki 24 numaralı dolap 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24’üncü sıradaki öğrenciler tarafınca değiştirildi. 

Bu tarz şeyleri anladık da hangi dolabın açık bulunduğunu buradan nasıl anlayacağız?

İşte bu aşamada matematiğin büyüsü devreye giriyor. 1 numaralı dolabın devamlı açık kalacağını biliyoruz. Öteki öğrenciler ise kendi sıra numaralarının katlarıyla dolapları açtılar ya da kapattılar. 

Bu hesaba gore 2 numaralı dolap kapalı olacaktır. Bundan dolayı çift sayılı bir çarpanı vardır. Bu dolabı 1 açarken 2 kapatmıştır. 3 numaralı dolabın da iki çarpanı vardır ve onun da kapalı olması gerekir. Sadece 4 numaralı dolaba geldiğimizde 1, 2 ve 4 olmak suretiyle toplamda 3 çarpana haiz bir numara bizi karşılar. Tek sayıda çarpanı olan 4’ün açık kalacağını görüyoruz.

Mevzuyu daha iyi kavradınız mı? Çift sayıda çarpanı olan dolaplar kapalı, tek sayıda çarpanı olan dolaplar ise açık kalacaktır. Doğrusu tek sayılı çarpanı olan dolapları bulduğumuzda probleminin cevabı da ortaya çıkmış olacaktır.

Hangi dolap numaralarının çarpanı tek sayı olabilir?

Bir sayının çarpan sayısının tek sayı olması için iki çarpanın birbirine eşit olması gerekir. Bu sayılara “tam kare sayılar” denir. Doğrusu tek yapmamız ihtiyaç duyulan tam kare sayıları bulmak olacak. Bunu da tüm sayıları kendileriyle çarparak bulabiliriz. Doğrusu 2’nin karesi olan 4 açık kalmalıdır. Ya da 3’ün karesi olan 9 açık kalacaktır. Aynı şey 9’un karesi olan 81 için de geçerlidir. Bundan dolayı bu sayıların çarpan sayısı tektir. Bunun sonucunda açık kalan dolapların numarası ise “1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100” şeklindedir. 

Peki kimler cevabı buldu? Yorumlarda buluşalım.